תפריט

אינטגרציה של פ' רציונלית והאינטגרל המסוים

סיכום מתוך הקורס מתמטיקה ב' 55322

הועלה ע"י: אריאלה ג.

תאריך: 28.2.2014

 

 

 

נניח כי  פולינומים.

נגדיר:                                                                                                          

 נקראת פונקציה רציונלית.

נניח כי דרגת  קטנה מדרגת :                                              

 

דוגמה

נחשב את האינטגרל:                                                                                                

ראשית נביא את האינטגרל למצב:                                                           

יש להביא את הפולינום לפירוק מקסימלי:      

מכיוון ש:                                                                                                  

אז אנחנו לא יודעים מיד מה המונה.

לכן, במקרה של , מתקיים:                                                   

ואנחנו מעוניינים למצוא את  ואת .

זו לא משוואה, זו זהות! היא נכונה עבור כל .

הדרך הישירה היא גורם משותף:                                                                  

נבודד את המשתנה:                                                                                   

מתקבל שכל  נותן תוצאה שונה ולכן .

לכן  ו־.

הבעיה בדרך הזו שהיא יכולה להיות ארוכה מדי...

 

הדרך העקיפה היא:

הזהות נכונה לכל  ולכן, בפרט, לשני ־ים נוחים, למשל  ו־:

מתקבל:                                                                                                          

 

המספרים הנוחים ביותר לבחירה עבור  הם אלו שמאפסים את האיברים, למשל:     

אין חשש לענייני תחום הגדרה, כלומר עבור , הבחירה הזו רלוונטית...

אין הגבלה על ...

נחזור לענייני האינטגרל:                                                                  

לא כדאי לפרק את האינטגרל בדרך הזו:                           

נפרק:                                                                                                

מכנה משותף:                                                                                    

נציב :                                                                                              

נבדוק:                                                                      

 

דוגמה

דוגמה

אבל זה לא מתפרק:                                                                                                   

אבל אפשר לכתוב:

     

משפט

כל פולינום מתפרק עד לגורמים מדרגה שניה בלבד.

דוגמה

גורם ליניארי:                                                                                                     

גורם ריבועי:                                                                                                         

לא נתעסק עם הגורם הריבועי...

 

דוגמה

כדי לפרק את:                                                                                                      

יש לעבור על כל החזקות:                                                    

מכנה משותף:                                                                      

נציב :                                                                                                              

       :                                                                                                         

        :                                                                                               

מתקבל:                      

 

דוגמה

 

האינטגרל המסוים

נניח כי  מוגדרת בקטע  ו־ היא פונקציה קדומה של .

נגדיר את האינטגרל המסוים של  בקטע  ע"י:                                     

ונסמן:                                                                                        

 

דוגמה

תכונות האינטגרל המסוים

1.                                                                                                           

2.                                                                                            

3.                                                                           [1]

 

אינטגרציה בחלקים

דוגמה

שיטת ההצבה

דוגמה

 

 





[1] נקודה  יכולה להיות אפילו מחוץ ל־





Tweet