תפריט

אינטגרלים

סיכום מתוך הקורס מתמטיקה ב' 55322

הועלה ע"י: אריאלה ג.

תאריך: 21.2.2014

 

 

הערה

 

למדנו לגזור בסמסטר הקודם. עכשיו אנחנו לומדים על הפעולה ההפוכה.

נניח כי ידועה הנגזרת של פונקציה כלשהי. השאלה היא מי הפונקציה שגזרנו כדי לקבל את הפונקציה הנתונה.

 

סימן

הפונקציה הנתונה:                                                                                                        

הפונקציה שגזרנו:                                                                                                        

 

מתקיים הקשר:                                                                                              

 תקרא פונקציה קדומה של

 

דוגמה

איזו פונקציה שכאשר גוזרים אותה מקבלים ?

ה־ הוא קבוע (Constant). כאשר גוזרים את הפונקציה "מאבדים" מידע...

נוהגים לסמן:                                                                                           

סימן ה־ הוא למעשה  מאורך מהמלה .

ה־ של  הוא מהמילה דפרנציאל (Differential).

כאשר גוזרים, יש חשיבות למשתנה הגזירה.

למשל:

                                                                                                                           

כי בשני המקרים גזרנו לפי משתנה אחר... במקרה השני לפי ...

 

אינטגרלים מידיים

 

 

פעולות על אינטגרלים

סכום והפרש הפונקציות בתוך האינטגרל הוא סכום או הפרש האינטגרלים:

אפשר להוציא קבוע:

 

 

 

 

דוגמה

 

 

דוגמה

 

 

דוגמה

אפשר לעשות זאת רק במקרה ליניארי. כלומר, כאשר נתון האינטגרל:

 

משפט

נניח כי  היא פונקציה קדומה של  אז הקדומה של  כאשר  היא:

                                                                                                                     

דוגמה

דוגמה

 

 

דוגמה

 

דוגמה

 

משפט

אם  ו־  קדומות של  אז:                                                

 

אינטגרלים מורכבים – אינטגרציה בחלקים

דוגמה

בלתי אפשרי "סתם" לבצע אינטגרל...

לכן, נסתכל על הנגזרת של מכפלה:                                                            

נפעיל אינטגרל:                                             

נעביר אגף:                                                                                     

ונקבל את נוסחת האינטגרציה בחלקים!

 

נחזור לדוגמה

יש כאן דילמה רצינית, באיזו פונקציה לבחור... אם נתקעים, יש לבחור בשניה.

אם נסתכל על הבחירה השניה:

וקיבלנו צרה צרורה יותר.

 

דוגמה

 

דוגמה

הערה

אין לזכור את הפתרון! במבחן יש להראות את הדרך...

 

נחזור לדוגמה מתחילת השיעור

הערה

לפעמים יש צורך להפעיל את האינטגרציה בחלקים יותר מפעם אחת.

דוגמה

 

שיטת ההצבה

אם  היא פונקציה קדומה של  אז  היא קדומה של:            

 

דוגמה

הערות

לא מומלץ לבחור את כל הביטוי כ־, כי אז יש לגזור משהו מסובך יותר.

 

אין לנסח ביטוי שמכיל גם ־ים וגם ־ים, כולל  או .

 

דוגמה

במקום להאבק בפונקציה הזו, נסתכל על:

                                           

 

 

 

דוגמה

דוגמה

 

דוגמה

 

דוגמה

יש לציין, באופן פורמאלי, כי המונה הוא הנגזרת של המכנה ולכן זה אינטגרל מיידי.

 

דוגמה







Tweet